Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的離心率為$\sqrt{5}$，則拋物線y²=4x的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由雙曲線的離心率求得$\frac{a}$=2，即可求得雙曲線的漸近線方程，由拋物線的焦點坐標(biāo)，由點到直線的距離公式，即可求得拋物線y²=4x的焦點到雙曲線的漸近線的距離．

解答 解：由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即$\frac{a}$=2，
則雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，即y=±2x，
拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
則F（1，0）到y(tǒng)±2x=0的距離d=$\frac{丨0±2×1丨}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴拋物線y²=4x的焦點到雙曲線的漸近線的距離$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故選C．

點評 本題考查雙曲線簡單幾何性質(zhì)，考查拋物線的焦點，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．