Question

18．己知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+2a₂=5，4a₃²=a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q＞0，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件可得首項(xiàng)和公比的方程組，解方程即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（3）求得c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n-1}）（1+{2}^{n}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比q＞0，
a₁+2a₂=5，4a₃²=a₂a₆，可得a₁+2a₁q=5，4（a₁q²）²=a₁²q⁶，
解得a₁=1，q=2，
則a_n=a₁q^n-1=2^n-1，n∈N*；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n，
可得b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
則b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+1+2+…+2^n-2
=2+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1+1，n∈N*；
（3）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n-1}）（1+{2}^{n}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$，
則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{1+{2}^{0}}$-$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2}$-$\frac{1}{1+{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想，以及數(shù)列恒等式的運(yùn)用，考查裂項(xiàng)相消求和，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．