Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，AB=$\sqrt{2}$，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，E為CC₁的中點(diǎn)
（1）求證：EA⊥EB₁
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大�。�

Answer 1

分析 （1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BB₁為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EA⊥EB₁．
（2）求出平面AEB₁的法向量和平面A₁B₁E的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角A-EB₁-A₁的大�。�

解答 證明：（1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BB₁為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則B（0，0，0），B₁（0，2，0），E（1，1，0），A（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{EA}$=（-1，-1，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{E{B}_{1}}$=1-1+0=0，
∴EA⊥EB₁．
解：（2）$\overrightarrow{AE}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（1，-1，0），
設(shè)平面AEB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{BE}$=（1，1，0），∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{B}_{1}E}$=1-1=0，∴BE⊥B₁E，
又BE⊥A₁B₁，A₁B₁∩B₁E=B₁，∴BE⊥平面A₁B₁E，
∴平面A₁B₁E的一個(gè)法向量$\overrightarrow{BE}$=（1，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A-EB₁-A₁的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．