Question

3．甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行同一門(mén)課程的考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下2×2列聯(lián)表：
班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表

	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計(jì)
甲隊(duì)	80	40	120
乙隊(duì)	240	200	440
合計(jì)	320	240	560

（Ⅰ）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)與學(xué)校有關(guān)系；
（Ⅱ）采用分層抽樣的方法在兩所學(xué)校成績(jī)優(yōu)秀的320名學(xué)生中抽取16名同學(xué)．現(xiàn)從這16名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名運(yùn)同學(xué)作為成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生代表介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，記這3名同學(xué)來(lái)自甲學(xué)校的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較，得到有能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)與所在學(xué)校有關(guān)系；
（Ⅱ）確定ξX的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意得K²=$\frac{560×（80×200-40×240）^{2}}{120×440×320×240}$≈5.657＞5.024，
∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)與所在學(xué)校有關(guān)系．…（3分）
（Ⅱ）16名同學(xué)中有甲學(xué)校有4人，乙學(xué)校有12人…..…（4分）
X的可能取值為0，1，2，3…..…（5分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{11}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{33}{70}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{9}{70}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{140}$
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$

…..…（10分）
∴EX=0×$\frac{11}{28}$+1×$\frac{33}{70}$+2×$\frac{9}{70}$+3×$\frac{1}{140}$=$\frac{3}{4}$…..…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算出觀測(cè)值，理解臨界值對(duì)應(yīng)的概率的意義，屬于中檔題．