Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，CC₁=CA，∠BCC₁=∠BCA．
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若BC=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，求點B到平面A₁B₁C的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)本題條件，需要證明BC₁⊥AB，由AB⊥側(cè)面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC，則需要通過解三角形來證明．
（Ⅱ）利用等體積方法，求點B到平面A₁B₁C的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵CC₁=CA，∠BCC₁=∠BCA，BC=BC，
∴△ABC≌△C₁BC，
∴∠C₁BC=∠ABC=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：若BC=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，由（Ⅰ）可知CC₁=CA=4，AB=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△{B}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{4+16-2×2×4×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×2\sqrt{3}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即點B到平面A₁B₁C的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直、線線垂直，考查錐體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．