Question

12．已知二次函數f（x）=ax²+bx-1在x=-1處取得極值，且在點（0，-1）處的切線與直線2x-y=0平行．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數g（x）=xf（x）+2x的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=ax²+bx-1，得f'（x）=2ax+b，由題設可得$\left\{{\begin{array}{l}{f'（-1）=0}\\{f'（0）=2}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由題意得g（x）=xf（x）+2x=x³+2x²+x，g'（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），令g'（x）=0，得${x_1}=-1，{x_2}=-\frac{1}{3}$，g'（x）＞0，$x＜-1或x＞-\frac{1}{3}$，g'（x）＜0，$-1＜x＜-\frac{1}{3}$．進而得出函數g（x）的單調性．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx-1，得f'（x）=2ax+b，
由題設可得$\left\{{\begin{array}{l}{f'（-1）=0}\\{f'（0）=2}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-2a+b=0}\\{b=2}\end{array}}\right.$，
解得a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x-1．
（Ⅱ）由題意得g（x）=xf（x）+2x=x³+2x²+x，
∴g'（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
令g'（x）=0，得${x_1}=-1，{x_2}=-\frac{1}{3}$，g'（x）＞0，$x＜-1或x＞-\frac{1}{3}$，g'（x）＜0，$-1＜x＜-\frac{1}{3}$．
x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	$（-1，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，+∞）$
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	單調遞增	有極大值	單調遞減	有極小值	單調遞增

g（x）的極大值為g（-1）=-1+2-1=0，g（x）的極小值為$g（-\frac{1}{3}）=-\frac{1}{27}+\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=-\frac{4}{27}$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、切線方程、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．