2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,AB∥DC,∠ADC=90°,PC=AB=2AD=2DC=2,點(diǎn)E為PB的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)求點(diǎn)P到平面ACE的距離.

分析 (1)證明AC⊥平面PBC,即可證明平面PAC⊥平面PBC;
(2)利用等體積,即可求點(diǎn)P到平面ACE的距離.

解答 (1)證明:∵PC⊥底面ABCD,∴PC⊥AC,
又∵AC⊥BC,PC∩BC=C,
∴AC⊥平面PBC,
∵AC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBC…(5分)
(2)解:∵點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),∴S△PCE=$\frac{1}{2}{S}_{△PCB}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…(7分)
由(1)得:AC⊥平面PBC,∴VA-PCE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$,
設(shè)點(diǎn)P平面ACE的距離為h.
則由等體積可得$\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2})h$=$\frac{1}{3}$解得:h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)P到平面ACE的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、面面垂直的判定,考查等體積方法求點(diǎn)到平面的距離,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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