17．（Ⅰ）已知a+2b+3c=6，求a2+2b2+3c2的最小值．
（Ⅱ）求$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$的最大值．

分析 （I）（II）利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）∵a+2b+3c=6，
∴根據(jù)柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（$\sqrt{2}$b）2+（$\sqrt{3}$c）2]
化簡(jiǎn)得62≤3（a2+2b2+3c2），即36≤3（a2+2b2+3c2）
∴a2+2b2+3c2≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)a：$\sqrt{2}$b：$\sqrt{3}$c=1：1：1時(shí)，即a=$\frac{6}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，b=$\frac{3\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，c=$\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$時(shí)等號(hào)成立．
由此可得：a2+2b2+3c2的最小值為12．
（Ⅱ）y=$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$，由$\left\{\begin{array}{l}{-3x+12≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，解得0≤x≤4，可得函數(shù)y的定義域?yàn)閇0，4]．
∴y=$\sqrt{3}•\sqrt{-x+4}$+$\sqrt{x}$≤$\sqrt{1+3}$$•\sqrt{-x+4+x}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{3}\sqrt{x}$=$\sqrt{-x+4}$，即x=1時(shí)取等號(hào)．
∴$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

7．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x3+x2+ax+b在x=3取得極值為4，則f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值為（　�。�
A．-1B．0C．-$\frac{4}{3}$D．-$\frac{13}{3}$

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8．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{3}$ax+b（a、b為常數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在（1，f（1））處相切，求g（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$（a＞1），若h（x）在[1，e]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．某同學(xué)在獨(dú)立完成課本上的例題：“求證：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$”后，又進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)下面的不等式均成立.$\sqrt{0}+\sqrt{10}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}+\sqrt{8.7}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{2}+\sqrt{8}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}+\sqrt{5.4}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{5}+\sqrt{5}≤2\sqrt{5}$
經(jīng)過(guò)認(rèn)真地分析、嘗試，該同學(xué)歸納出一個(gè)一般性的不等式：$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y∈[0，+∞））．請(qǐng)用合適的方法證明該不等式成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx-1在x=-1處取得極值，且在點(diǎn)（0，-1）處的切線與直線2x-y=0平行．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=xf（x）+2x的極值．

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2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）當(dāng)e≤x≤e2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）已知函數(shù)g（x）=2x-$\frac{ax（x-1）}{lnx}$，且f（x）g（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：存在正實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使mn=nm，試問(wèn)：他的發(fā)現(xiàn)是否正確？若不正確，則請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，則請(qǐng)直接寫出m的取值范圍，而不需要解答過(guò)程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍為（　�。�
A．（-∞，-2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．已知函數(shù)f（x）=4sin2x+4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤π時(shí)，求方程f（x）=1的解；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}|{f（x+\frac{π}{12}）}|+\frac{1}{2}|{f（x+\frac{π}{3}）}$|（x∈R），試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并求g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g（x）=-$\frac{1}{2}$a（x2-x-2），其中a∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x+1）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

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