Question

20．設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）-g（x）在[a，b]上兩個不同的零點，則稱f（x）與g（x）的“關(guān)聯(lián)區(qū)間”，若f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$-x與g（x）=2x+b的“關(guān)聯(lián)區(qū)間”是[-3，0]，則b的取值范圍是（　�。�

• A． [-9，0]
• B． $[0，\frac{5}{3}]$
• C． $[-9，\frac{5}{3}]$
• D． $[0，\frac{5}{3}）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值和單調(diào)性，根據(jù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-x與g（x）=2x+b，
∴設(shè)y=m（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-x-2x-b=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-b，
則m′（x）=x²-2x-3，
由m′（x）=x²-2x-3=0，解得m=-1或m=3，
∵f（x）與g（x）在[-3，0]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，
∴當x=-1是函數(shù)m（x）在[-3，0]上的極大值，同時也是最大值，
要使m（x）=f（x）-g（x）在[-3，0]上有兩個不同的零點，
則$\left\{\begin{array}{l}{m（0）≤0}\\{m（-1）＞0}\\{m（-3）≤0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{-b≤0}\\{\frac{5}{3}-b＞0}\\{-9-b≤0}\end{array}\right.$，
解得0≤b＜$\frac{5}{3}$，
故b的取值范圍是[0，$\frac{5}{3}$），
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強，設(shè)計的知識點較多．