Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{8}$，a_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{{1-2{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N*），設b_n=$\frac{1}{a_n}$，
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|（n∈N^*），求S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：b₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=8，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{a_n}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{a_n}$=-2，因此數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）可知：b_n=10-2n，分類當1≤n≤5，b_n≥0，S_n=$\frac{（8+10-2n）n}{2}$=-n²+9n，當n≥6時，b_n≤0，S_n=2S₅-S_n，即可求得S_n．

解答 （1）證明：b₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=8，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{a_n}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{a_n}$=-2，
∴數(shù)列{b_n}是以8為首項，-2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可得：b_n=8+（-2）（n-1）=10-2n，
當1≤n≤5，b_n≥0，
S_n=$\frac{（8+10-2n）n}{2}$=-n²+9n，
當n≥6時，b_n≤0，
S_n=2S₅-S_n=2（-25+9×5）+n²-9n=n²-9n+40，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+9n}&{1≤n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40}&{n≥6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列通項公式及含有絕對值的數(shù)列前n項和公式求法，考查計算能力，屬于中檔題．