Question

【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Sn+1=λSn+1（λ是大于0的常數(shù)），且a1=1，a3=4．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=nan ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn+1=λSn+1可知 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=λSn﹣1+1． 作差可得an+1=λan ， 即n≥2時(shí) ．
又a1=1，故a2=λa1 ．
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
由于a3=a1λ2=4，λ＞0，解得λ=2．
數(shù){an}的通項(xiàng)公式為： ；
（Ⅱ）由 ，可知 ．
設(shè)數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn ，
則 ，①
，②
① ﹣②得： = =2n﹣1﹣n2n ．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=λSn﹣1+1．與原遞推式作差可得an+1=λan ， 即n≥2時(shí) ．驗(yàn)證a2=λa1 ， 可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列．結(jié)合已知求得λ值，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項(xiàng)公式代入bn=nan ， 整理后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．