Question

【題目】如圖，四棱錐的側(cè)棱與四棱錐的側(cè)棱都與底面垂直，，，，，，.

（1）證明：平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面所成角的正弦值為？如果存在，指出M點(diǎn)的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，M點(diǎn)與F點(diǎn)重合

【解析】

（1）根據(jù)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，可得，再根據(jù)勾股定理分別求出，即可證得四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式，即可建立方程，解出，即可確定M點(diǎn)的位置．

（1）∵，∴

∵，，∴，同理可得

又，，∴

∵，∴四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面∴平面.

（2）以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，

則，

令（），則

設(shè)平面的法向量，則

即，得

又平面的法向量，

設(shè)平面與平面的夾角為，則，

∴，則

即：M點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)滿足題意.