分析 (1)建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能求出|$\overrightarrow{CE}$|.
(2)求出$\overrightarrow{CE}=(2,-1,2)$,$\overrightarrow{AF}=(-2,1,0)$,利用向量法能求出直線EC與AF所成角的余弦值.
(3)求出平面ABCD的一個法向量和平面AEF的一個法向量,利用向量法能求出二面角E-AF-B的余弦值.
解答 解:(1)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則
A(2,0,0),F(xiàn)(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),
$\overrightarrow{CE}=(2,-1,2)$,…(2分)
∴$|{\overrightarrow{CE}}|=\sqrt{{2^2}+{{(-1)}^2}+{2^2}}=3$…(4分)
(2)∵$\overrightarrow{CE}=(2,-1,2)$,$\overrightarrow{AF}=(-2,1,0)$,
∴$cos<\overrightarrow{AF,}\overrightarrow{CE}>=\frac{-4-1}{{\sqrt{{{(-2)}^2}+{1^2}}•\sqrt{{2^2}+{{(-1)}^2}+{2^2}}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{3}$…(6分)
∴直線EC與AF所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$.…(8分)
(如果把向量的夾角當(dāng)成直線的夾角,扣1分)
(3)平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$…(9分)
設(shè)平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$,
∵$\overrightarrow{AF}=(-2,1,0)$,$\overrightarrow{AE}=(0,1,2)$,
∴$\left\{\begin{array}{l}-2x+y=0\\ y+2z=0\end{array}\right.$,令x=1,則y=2,z=-1$⇒\overrightarrow{n_2}=(1,2,-1)$,…(10分)
則$cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{-1}{{\sqrt{1+4+1}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…(12分)
由圖知二面角E-AF-B為銳二面角,其余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$.…(14分)
(如果把向量的夾角當(dāng)成二面角的平面角,扣2分)
點評 本題考查線段長、兩直線夾角余弦值、二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | p |
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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A. | f(0)+f(2)<2f(1) | B. | f(0)+f(2)≤2f(1) | C. | f(0)+f(2)≥2f(1) | D. | f(0)+f(2)>2f(1) |
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