Question

14．關于x的方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x），其中a是實常數(shù)．
（1）當a=2時，解上述方程
（2）根據(jù)a的不同取值，討論上述方程的實數(shù)解的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)的含義及運算法則，轉(zhuǎn)化為二次方程的解，解出即可；（2）由對數(shù)的含義及運算法則，轉(zhuǎn)化為二次方程的解得問題處理即可，注意定義域．

解答 解：（1）a=2時，lg（x-1）+lg（3-x）=lg（2-x），x∈（1，2），
故（x-1）（3-x）=2-x，整理得：x²-5x+5=0，
△=25-20=5＞0，
x=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，∵x∈（1，2），
故x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$；
（2）由題意x-1＞0且3-x＞0，所以1＜x＜3，
又lg（x-1）+lg（3-x）=lg（x-1）（3-x）=lg（a-x）
所以（x-1）（3-x）=a-x在1＜x＜3上有兩個實根，
即判斷x²-5x+a+3=0在（1，3）上個實根的個數(shù)．
所以a=-x²+5x-3，x∈（1，3），
令f（x）=-x²+5x-3，x∈（1，3），

f（1）=1，f（3）=3，f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{13}{4}$，
當1＜a≤3，或a=$\frac{13}{4}$時，方程有1個實根，
當3＜a＜$\frac{13}{4}$時，方程有2個實根，
當a＞$\frac{13}{4}$，a＜1時，方程無實根．

點評 本題考查二次方程實根分布問題、對數(shù)的運算法則，同時考查等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．