Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}x，0≤x≤a\\ \frac{1}{1-a}（{1-x}），a＜x≤1\end{array}$，a為常數(shù)，且a∈（0，1）．
（1）若x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的一階周期點(diǎn)，證明函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)；
（2）若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，則稱x₀為f（x）的二階周期點(diǎn)，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用定義通過(guò)當(dāng)0≤x≤a時(shí)，當(dāng)a＜x≤1時(shí)，驗(yàn)證函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)．
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，0≤x≤\frac{1}{2}\\ 2（{1-x}），\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}\right.$，推出$f（{f（x）}）=\left\{\begin{array}{l}4x，0≤x≤\frac{1}{4}\\ 2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}\\ 4x-2，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}\\ 4-4x，\frac{3}{4}≤x≤1\end{array}\right.$，利用函數(shù)的定義域，通過(guò)分段求解即可．

解答 （1）證明：由題可得，當(dāng)0≤x≤a時(shí)，$\frac{1}{a}x=x$，因?yàn)閍∈（0，1），所以x=0； …（2分）
當(dāng)a＜x≤1時(shí)，$\frac{1}{1-a}（1-x）=x$，因?yàn)閍∈（0，1），所以x=$\frac{1}{2-a}$，
所以函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)．…（4分）
（2）解：當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，0≤x≤\frac{1}{2}\\ 2（{1-x}），\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}\right.$
所以$f（{f（x）}）=\left\{\begin{array}{l}4x，0≤x≤\frac{1}{4}\\ 2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}\\ 4x-2，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}\\ 4-4x，\frac{3}{4}≤x≤1\end{array}\right.$…（7分）
當(dāng)$0≤x≤\frac{1}{4}$時(shí)，由4x=x，解得x=0，
因?yàn)閒（0）=0，故x=0不是f（x）的二階周期點(diǎn)； …（8分）
當(dāng)$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$時(shí)，由2-4x=x，解得$x=\frac{2}{5}$，
因?yàn)?f（{\frac{2}{5}}）=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}≠\frac{2}{5}$，故$x=\frac{2}{5}$是f（x）的二階周期點(diǎn)；    …（9分）
當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$時(shí)，由4x-2=x，解得$x=\frac{2}{3}$，
因?yàn)?f（{\frac{2}{3}}）=2×（{1-\frac{2}{3}}）=\frac{2}{3}$，故$x=\frac{2}{3}$不是f（x）的二階周期點(diǎn)；  …（10分）
當(dāng)$\frac{3}{4}≤x≤1$時(shí)，由4-4x=x，解得$x=\frac{4}{5}$，
因?yàn)?f（{\frac{4}{5}}）=2×（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{2}{5}≠\frac{4}{5}$，故$x=\frac{4}{5}$是f（x）的二階周期點(diǎn)； …（11分）
綜上，當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)為x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=$\frac{4}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．