Question

18．已知拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，直線PF與曲線相交于M，N兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{MF}$，則|MN|=（　�。�

• A． $\frac{21}{2}$
• B． $\frac{32}{3}$
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 先根據(jù)題意寫出直線的方程，再將直線的方程與拋物線y²=8x的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合拋物線的定義即可求線段MN的長(zhǎng)．

解答 解：拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線為l：x=-2，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M，N到準(zhǔn)線的距離分別為d_M，d_N，
由拋物線的定義可知|MF|=d_M=x₁+1，|NF|=d_N=x₂+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+4．
∵$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{MF}$，
∴直線AB的斜率為±$\sqrt{3}$，
∵F（2，0），
∴直線PF的方程為y=±$\sqrt{3}$（x-2），
將y=±$\sqrt{3}$（x-2），代入方程y²=8x，得3（x-2）²=8x，化簡(jiǎn)得3x²-20x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，于是|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+4=$\frac{20}{3}$+4=$\frac{32}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．