Question

10．函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}}）$的部分圖象如圖所示，其中$f（{\frac{π}{3}}）=0，f（{\frac{7π}{12}}）=-2$，給出下列結(jié)論：
①最小正周期為π；
②f（0）=1；
③函數(shù)$y=f（{x-\frac{π}{6}}）$是偶函數(shù)；
④$f（{\frac{12π}{11}}）＜f（{\frac{14π}{13}}）$；
⑤$f（x）+f（{\frac{4π}{3}-x}）=0$．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由圖象經(jīng)過定點（$\frac{π}{3}$，0），求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析各個選項即可得解．

解答 解：由圖象可知，A=2，$\frac{1}{4}$T=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，則T=π．故①正確，
又由于ω=$\frac{2π}{T}$，則ω=2，
故f（x）=2sin（2x+φ）．
由題中圖象可知，f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，則$\frac{2π}{3}$+φ=kπ，k∈z，
即 φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈z．
又因為|φ|＜$\frac{π}{2}$，則 φ=$\frac{π}{3}$，
所以函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
對于②：由于f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，故②錯誤，
對于③：$y=f（{x-\frac{π}{6}}）$=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2x，為奇函數(shù)，故③錯誤，
對于④：由于：f（$\frac{12π}{11}$）=2sin（2×$\frac{12π}{11}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{83π}{33}$=2sin$\frac{17π}{33}$=2cos$\frac{0.5π}{33}$，f（$\frac{14π}{13}$）=2sin（2×$\frac{14π}{13}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{19π}{39}$=2cos$\frac{0.5π}{39}$，
又由于：$\frac{π}{2}$＞$\frac{0.5π}{33}$＞$\frac{0.5π}{39}$＞0，
所以：cos$\frac{0.5π}{33}$＜cos$\frac{0.5π}{39}$，可得$f（{\frac{12π}{11}}）＜f（{\frac{14π}{13}}）$正確，
對于⑤：用特值法，當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=0+f（π）=0+2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，故錯誤．
故選：D．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．