Question

9．實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≤4}\\{x+y-2≥0}\\{x-y+8≥0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{1}{2}$ax+y的最大值為2a+12，最小值為2a-2，則a的取值范圍是[-2，2]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由z=$\frac{1}{2}$ax+y得y=-$\frac{1}{2}$ax+z，直線y=-$\frac{1}{2}$ax+z是斜率為-$\frac{1}{2}$a，y軸上的截距為z的直線，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤4}\\{x+y-2≥0}\\{x-y+8≥0}\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則A（4，12），B（-3，5），C（4，-2），
∵z=$\frac{1}{2}$ax+y的最大值為2a+12，最小值為2a-2，
若a=0，則y=z，此時z=$\frac{1}{2}$ax+y經(jīng)過A取得最大值，經(jīng)過C取得最小值，滿足條件，
若a＞0，則目標(biāo)函數(shù)斜率k=-$\frac{1}{2}$a＜0，
要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最大值，在C處取得最小值，
則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-$\frac{1}{2}$a≥k_BC=-1，
即a≤2，可得a∈（0，2]．
若a＜0，則目標(biāo)函數(shù)斜率k=-$\frac{1}{2}$a＞0，
要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最大值，在C處取得最小值，可得-$\frac{1}{2}$a≤k_BA=1
∴-2≤a＜0，綜上a∈[-2，2]
故答案為：[-2，2]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件確定A，B是最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵．注意要進行分類討論，是中檔題．