Question

20．已知2^x=3^y=5^z，且x，y，z均為正數(shù)，則2x，3y，5z的大小關(guān)系為（　�。�

• A． 2x＜3y＜5z
• B． 3y＜2x＜5z
• C． 5z＜3y＜2x
• D． 5z＜2x＜3y

Answer 1

分析 令2^x=3^y=5^z=k，利用指對數(shù)互化求出x、y、z，得2x、3y、5z，由于3個數(shù)都是正數(shù)，利用對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)化簡它們的倒數(shù)的差，從而得到這3個數(shù)大小關(guān)系

解答 解：令2^x=3^y=5^z=k，由x、y、z均為正數(shù)得k＞1，
則 x=log₂k，y=log₃k，z=log₅k，
∴2x=2log₂k，3y=3log₃k、5z=5log₅k，
∴$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{3y}$=$\frac{1}{2}$log_k2-$\frac{1}{3}$log_k3=log_k$\frac{\sqrt{2}}{\root{3}{3}}$=log_k（$\frac{8}{9}$）${\;}^{\frac{1}{6}}$＜0，
∴$\frac{1}{2x}$＜$\frac{1}{3y}$，
∴2x＞3y．
同理可得5z＞2x，
故選：B

點評 本題考查了對數(shù)的運算法則、換底公式、指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了推理能力，化簡、計算能力，屬于中檔題．