Question

15．在公比為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₃-a₁=$\frac{16}{27}$，a₂=-$\frac{2}{9}$，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=n²．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n，利用數(shù)列遞推關(guān)系可得b_n．
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₃-a₁=$\frac{16}{27}$，a₂=-$\frac{2}{9}$，∴${a}_{1}{q}^{2}-{a}_{1}$=$\frac{16}{27}$，a₁q=-$\frac{2}{9}$．
可得q=$\frac{1}{3}$或q=-3（舍去），則a₁=-$\frac{2}{3}$．
∴a_n=-$\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∵S_n=n²，∴b₁=S₁=1．
n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
  當n=1時，b₁=1也符合上式．
∴b_n=2n-1．
綜上，a_n=-$\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，b_n=2n-1．
（2）由（1）知：a_nb_n=-2（2n-1）$（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴T_n=-2$[\frac{1}{3}+3×（\frac{1}{3}）^{2}+5×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（2n-1）×$（\frac{1}{3}）^{n}]$…①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=-2$[（\frac{1}{3}）^{2}+3（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（2n-3）$（\frac{1}{3}）^{n}$+（2n-1）$•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$…②
①-②得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=-2$[\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+2×$（\frac{1}{3}）^{n}$-（2n-1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=-2$[\frac{2}{3}-（2n+2）•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴T_n=-2+（2n+2）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．