Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3x+2}{x+1}，x∈（-1，0]}\\{x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$且g（x）=mx+m，若g（x）=f（x）在（-1，1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• B． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx+m=0，即f（x）=m（x+1），作出函數(shù)f（x）和y=h（x）=m（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得結(jié)論．

解答 解：g（x）=f（x）-mx+m=0，即f（x）=m（x+1），
分別作出函數(shù)f（x）和y=h（x）=m（x+1）的圖象如圖：
由圖象可知f（1）=1，h（x）表示過(guò)定點(diǎn)A（-1，0）的直線(xiàn)，
當(dāng)h（x）過(guò)（1，1）時(shí)，m=$\frac{1}{2}$，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的m的取值范圍是$0＜m≤\frac{1}{2}$，
當(dāng)h（x）過(guò)（0，-2）時(shí)，h（0，-2），解得m=-2，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)h（x）與f（x）相切時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)$-\frac{3x+2}{x+1}$=m（x+1），即m（x+1）²+3x+2=0，
當(dāng)m=0時(shí)，$x=-\frac{2}{3}$，只有一解，當(dāng)m≠0時(shí)，由△=9+4m=0得$m=-\frac{9}{4}$，此時(shí)直線(xiàn)和f（x）相切，
∴要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則$-\frac{9}{4}＜m≤-2$，或$0＜m≤\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，屬于中檔題．