Question

17．中國乒乓球隊備戰(zhàn)里約奧運會熱身賽暨選撥賽于2016年7月14日在山東威海開賽，種子選手M與B₁，B₂，B₃三位非種子選手分別進行一場對抗賽，按以往多次比賽的統(tǒng)計，M獲勝的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，且各場比賽互不影響．
（1）若M至少獲勝兩場的概率大于$\frac{7}{10}$，則M入選征戰(zhàn)里約奧運會的最終大名單，否則不予入選，問M是否會入選最終的大名單？
（2）求M獲勝場數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．
（2）利用相互獨立事件與互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）M與B₁，B₂，B₃進行對抗賽獲勝的事件分別為A，B，C，M至少獲勝兩場的事件為D，
則$P（A）=\frac{3}{4}，P（B）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{2}$，由于事件A，B，C相互獨立，
所以$P（D）=P（ABC）+P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{17}{24}$，
由于$\frac{17}{24}$$＞\frac{7}{10}$，所以M會入選最終的名單．
（2）M獲勝場數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，則$P（x=0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$，$P（x=1）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{6}{24}$，
$P（x=2）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$，$P（x=0）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{6}{24}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$

數(shù)學期望$E（X）=0×\frac{1}{24}+1×\frac{6}{24}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{6}{24}=\frac{23}{12}$．

點評 本題考查了隨機變量的概率分布列及其數(shù)學期望、相互獨立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．