Question

已知一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0（m∈R）有兩實根，試問：
（1）m為何值時，該方程一個根大于1，一個根小于1；
（2）m為何值時，該方程兩實根在（0，4）內；
（3）m為何值時，該方程兩實根在[1，3]外．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由△=4（m+3）²-4（2m+14）≥0，求得m的范圍，令f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
（1）由f（1）=4m+21＜0，求得m的范圍．
（2）由

△≥0 0＜-(m+3)＜4 f(0)=2m+14＞0 f(4)=10m+54＞0

，求得m的范圍．
（3）由

△≥0 f(1)=4m+21＜0 f(3)=8m+41＜0

，求得m的范圍．

解答： 解：已知一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0（m∈R）有兩實根，∴△=4（m+3）²-4（2m+14）≥0，
求得m≤-5，或 m≥1．
令f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
（1）當f（1）=4m+21＜0，即m＜-

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4

時，該方程一個根大于1，一個根小于1．
（2）由

△≥0 0＜-(m+3)＜4 f(0)=2m+14＞0 f(4)=10m+54＞0

，求得-5.4＜m≤-5，故當-5.4＜m≤-5時，該方程兩實根在（0，4）內．
（3）由

△≥0 f(1)=4m+21＜0 f(3)=8m+41＜0

，求得 m＜-

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4

，故當m＜-

21

4

 時，該方程兩實根在[1，3]外．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．