Question

已知函數(shù)，
（1）求在處切線方程；
（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）若不等式對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再求，再用點(diǎn)斜式方程求切線方程；（2）要證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，只需證明在恒成立，先求導(dǎo)，分母大于0，只需證明分子小于0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，說(shuō)明其最大值小于0即可，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題了，繼續(xù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)，故遞減，所以；
（3）恒成立問(wèn)題可以考慮參變分離，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，從而參變分離為，只需用導(dǎo)數(shù)求右邊函數(shù)的最小值即可，為了便于求導(dǎo)可換元，設(shè)，則，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)求其最小值.
試題解析：（1）由已知切線方程；
（2），令=， ， 在（0,1）上是減函數(shù)；
（3） 兩邊取對(duì)數(shù) 即，令 設(shè)，設(shè)， 由（2）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù) 即.