Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$，g（x）=log₂x+m，若對?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂），則m的取值范圍是（　�。�

• A． m≤-$\frac{5}{4}$
• B． m≤2
• C． m≤$\frac{3}{4}$
• D． m≤0

Answer 1

分析 對?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂）等價于f（x）_min≥g（x）_min即可；

解答 解：對?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂）等價于f（x）_min≥g（x）_min；
f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，換元令t=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，h（t）=t+t²知h（t）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
所以f（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$；
g（x）=log₂x+m，在x∈[1，4]上為單調(diào)增函數(shù)，故g（x）_min=g（1）=m；
所以m≤$\frac{3}{4}$，
故選：C．

點評 本題主要考查了函數(shù)的等價轉化思想，以及函數(shù)求值域的方法，屬中等題．