Question

5．函數(shù)f（x）=e^x-x-2，k為整數(shù)，且當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0恒成立，則k的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 把當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0恒成立，轉化為k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，構造函數(shù)g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，利用導數(shù)求得函數(shù)g（x）的最小值的范圍得答案．

解答 解：當x＞0時，e^x-1＞0，
∴不等式，（x-k）f′（x）+x+1＞0可以變形如下：
（x-k）（e^x-1）+x+1＞0，即k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x①
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-2）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調遞增，
而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點．
設此零點為a，則a∈（1，2）．
當x∈（0，a）時，g′（x）＜0；
當x∈（a，+∞）時，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（a）．
由g′（a）=0，可得e^a=a+2，
∴g（a）=a+1∈（2，3），
由于①式等價于k＜g（a），
故整數(shù)k的最大值為2，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，著重考查了數(shù)學轉化思想方法，考查了函數(shù)最值的求法，屬中檔題．