Question

1．某中學(xué)用校車接送教師上下班，從起點(diǎn)站出發(fā)后包括終點(diǎn)站一共停4個(gè)站，若在起點(diǎn)站上了5個(gè)人，中途沒(méi)有人上車，每位老師在每個(gè)站下車的概率相等．若某站沒(méi)有人下車，則校車就不停，車在終點(diǎn)站一定會(huì)停，起點(diǎn)站不算停車．
（1）求校車除終點(diǎn)站外只停一次的概率；
（2）設(shè)校車停車次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“校車除終點(diǎn)站外只停一次”為事件A，可得P（A）=$\frac{3（{2}^{5}-{∁}_{5}^{0}）}{{4}^{5}}$．
（2）由題意可得ξ=1，2，3，4．P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{5}^{5}}{{4}^{5}}$，P（ξ=2）=$\frac{93}{1024}$，P（ξ=4）=$\frac{M}{{4}^{5}}$，其中M=${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{1}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{2}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{3}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}$=390，P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=4）．

解答 解：（1）設(shè)“校車除終點(diǎn)站外只停一次”為事件A，則P（A）=$\frac{3（{2}^{5}-{∁}_{5}^{0}）}{{4}^{5}}$=$\frac{93}{1024}$．
（2）由題意可得ξ=1，2，3，4．
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{5}^{5}}{{4}^{5}}$=$\frac{1}{1024}$，P（ξ=2）=$\frac{93}{1024}$，
P（ξ=4）=$\frac{M}{{4}^{5}}$，其中M=${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{1}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{2}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{3}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}$=390，∴P（ξ=4）=$\frac{390}{1024}$，
∴P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=4）=$\frac{540}{1024}$．
可得ξ的分布列：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{1024}$	$\frac{93}{1024}$	$\frac{540}{1024}$	$\frac{390}{1024}$

Eξ=1×$\frac{1}{1024}$+2×$\frac{93}{1024}$+3×$\frac{540}{1024}$+4×$\frac{390}{1024}$=$\frac{3367}{1024}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．