Question

10．已知圓E的方程為（x-2）²+y²=1，直線1的方程為2x-y=0，點P在直線1上．
（1）若點P的坐標(biāo)為（1，2）．
①過點P作圓E的切線，求切線1的方程；
②過點P作圓E的割線交圓E于C、D兩點．當(dāng)|CD|=$\sqrt{2}$時，求直線CD的方程；
（2）若過點P作圓E的切線PA、PB，切點為A、B，．求證：經(jīng)過P、A、E、B四點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①直線l：x=1是圓E的切線．切線l的斜率存在時，設(shè)切線l的方程為：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．可得$\frac{|2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k，即可得出圓的切線方程．
②設(shè)割線PCD的方程為：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．則圓心到直線的距離d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，利用d²+$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，解得：k即可得出．
（2）①點P（1，2）時，經(jīng)過P、A、E、B四點的圓的方程為：（x-1）（x-2）+（y-2）y=0．
②點P（3，6）時，經(jīng)過P、A、E、B四點的圓的方程為：（x-3）（x-2）+（y-6）y=0．
③設(shè)點P（a，2a），經(jīng)過點P的兩條切線的斜率都存在時，經(jīng)過P、A、E、B四點的圓的方程為：（x-a）（x-2）+（y-2a）y=0．化為：x²+y²-2x-a（x+2y-2）=0，令x+2y-2=0，x²+y²-2x=0．解得即可得出．

解答 （1）解：①直線l：x=1是圓E的切線．
切線l的斜率存在時，設(shè)切線l的方程為：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．
則$\frac{|2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$．
∴切線方程為：y-2=-$\frac{3}{4}$（x-1），化為：3x+4y-11=0．
綜上可得切線l的方程為：x=1或3x+4y-11=0．
②設(shè)割線PCD的方程為：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．
則圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
則d²+$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，可得：$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{1}{2}$=1，解得：k=-1或-7．
∴直線CD的方程為：x+y-3=0，或7x+y-9=0．
（2）證明：①點P（1，2）時，經(jīng)過P、A、E、B四點的圓的方程為：（x-1）（x-2）+（y-2）y=0．
②點P（3，6）時，經(jīng)過P、A、E、B四點的圓的方程為：（x-3）（x-2）+（y-6）y=0．
③設(shè)點P（a，2a），經(jīng)過點P的兩條切線的斜率都存在時，經(jīng)過P、A、E、B四點的圓的方程為：（x-a）（x-2）+（y-2a）y=0．化為：x²+y²-2x-a（x+2y-2）=0，
令x+2y-2=0，x²+y²-2x=0．解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
代入①②的圓的方程也滿足．
∴經(jīng)過P、A、E、B四點的圓都經(jīng)過點（2，0），$（\frac{2}{5}，\frac{4}{5}）$．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、相交弦長問題、點到直線的距離公式、圓系方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．