Question

11．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=-2x+\frac{2}{x}=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
∴f'（1）=0，所求的切線斜率為0，又切點(diǎn)為（1，-1）
故所求切線方程為y=-1…（5分）
（2）∵$f'（x）=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$且x＞0
令f'（x）＞0得0＜x＜1，令f'（x）＜0得x＞1．
從而函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）
顯然函數(shù)只有極大值，且極大值為f（1）=-1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，是一道基礎(chǔ)題．