Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）△ABC中，角A，B，C的對邊a，b，c滿足${b^2}+{c^2}-{a^2}＞\sqrt{3}bc$，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的增減性確定出f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可；
（2）利用余弦定理表示cosA，整理后代入已知不等式求出cosA的范圍，進(jìn)而求出A的范圍，即可確定出f（A）的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得到-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
則f（x）的增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）；
（2）由余弦定理得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即b²+c²-a²=2bccosA，
代入已知不等式得：2bccosA＞$\sqrt{3}$bc，即cosA＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為△ABC內(nèi)角，
∴0＜A＜$\frac{π}{6}$，
∵f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$），且-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜f（A）＜$\frac{1}{2}$，
則f（A）的范圍為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．