【題目】已知橢圓： 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線： 與橢圓有且只有一個公共點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

【答案】（Ⅰ），點T坐標(biāo)為（2,1）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第（Ⅰ）問，利用直線和橢圓只有一個公共點，聯(lián)立方程，消去y得關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知， ，則橢圓E的方程為.

由方程組得.①

方程①的判別式為，由，得，

此時方程①的解為，

所以橢圓E的方程為.

點T坐標(biāo)為（2,1）.

（Ⅱ）由已知可設(shè)直線的方程為，

由方程組可得

所以P點坐標(biāo)為（），.

設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為.

由方程組可得.②

方程②的判別式為，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常數(shù)，使得.

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②命題“x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對x∈R，均有x2+x+1＞0”；
③命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件；
④若函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有極值0，則a=2，b=9或a=1，b=3．
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B.1 個
C.2 個
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