11.已知拋物線E:x2=2py(p>0),過點M(1,-1)作拋物線E的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$.
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與圓x2+(y-1)2=1相切的直線l:y=kx+m(其中m∈(2,4]),與拋物線交于P,Q兩點,若在拋物線上存在點C,使$\overrightarrow{OC}$=λ$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})$(λ>0),求λ的取值范圍.

分析 (1)求出直線AB的方程為x-py+p=0,利用直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$,從而求p,即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由題意設(shè)直線y=kx+m,又直線l與圓(y-1)2+x2=1相切,所以$\frac{|m-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$,即k2=m2-2m,由直線方程與拋物線聯(lián)立可得△=16k2+16m>0,進(jìn)而由韋達(dá)定理可得$λ=1+\frac{1}{2(m-2)}$,從而求λ的取值范圍.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則點A處拋物線的切線為$y=\frac{x_1}{p}x-{y_1}$,過點M(1,-1),因而x1-py1+p=0;
同理,點B處拋物線的切線為$y=\frac{x_2}{p}x-{y_2}$,過點M(1,-1),因而x2-py2+p=0.
兩式結(jié)合,說明直線x-py-p=0過A,B兩點,也就是直線AB的方程為x-py+p=0.
由已知直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$,知p=2.
故所求拋物線的方程為x2=4y.
(2)直線l的方程為y=kx+m,又直線l與圓(y-1)2+x2=1相切,
所以$\frac{|m-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$,即k2=m2-2m.
與拋物線方程聯(lián)立,即$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$,
化簡消y得x2-4kx-4m=0,△=16k2+16m>0,∴m>1或m<0,∵2<m≤4,∴△>0恒成立.
設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),則x3+x4=4k,${y_3}+{y_4}=k({x_3}+{x_4})+2m=4{k^2}+2m$.
由$\overrightarrow{OC}=λ(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})(λ>0)$,則$\overrightarrow{OC}=(4kλ,λ(4{k^2}+2m))$,
又點C在拋物線上,則$λ=1+\frac{1}{2(m-2)}$,所以λ的取值范圍為$[\frac{5}{4},+∞)$.

點評 本題考查了圓錐曲線的方程的求法及圓錐曲線與直線的運算,屬于難題.

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