Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)$M（1，\frac{3}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C長軸兩端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的動點(diǎn)，定直線x=4與直線PA，PB分別交于M，N兩點(diǎn)，又E（7，0），求證：直線EM⊥直線EN．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)$M（1，\frac{3}{2}）$，$\frac{1}{a^2}$+$\frac{9}{{4{b^2}}}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，由a²=b²+c²，解得：a²=4，b²=3，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，P（x₀，y₀），則k₁k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$，${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），則k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，設(shè)PA方程為：y=k₁（x+2），則M（4，6k₁），則設(shè)PB方程為：y=k₂（x+2），則M（4，2k₂），由E（7，0），k_EM•k_EN=$\frac{4{k}_{1}•{k}_{2}}{3}$，因此k_EMk_EN=-1，即可證明直線EM⊥直線EN．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)$M（1，\frac{3}{2}）$，
∴$\frac{1}{a^2}$+$\frac{9}{{4{b^2}}}$=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
由a²=b²+c²，
解得：a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1．…．（4分）
（2）證明：設(shè)PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，P（x₀，y₀），則k₁k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$，
又（1）可知：$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，則${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），
∴k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，…．（6分）
設(shè)PA方程為：y=k₁（x+2），則M（4，6k₁），則設(shè)PB方程為：y=k₂（x+2），則M（4，2k₂），
又由E（7，0），
∴k_EM=-2k₁，k_EN=-$\frac{2{k}_{2}}{3}$，…．（8分）
∴k_EM•k_EN=$\frac{4{k}_{1}•{k}_{2}}{3}$，
而k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，
∴k_EMk_EN=-1，
∴直線EM⊥直線EN．…．（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查直線垂直的充要條件，考查計算能力，屬于中檔題．