Question

20．橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上的一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離為3，那么點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓方程求得橢圓的半焦距c，進(jìn)而可求得離心率和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義求得點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離．

解答 解：根據(jù)橢圓的第二定義可知P到F₁的距離與其到準(zhǔn)線的距離之比為離心率，
依題意可知a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$2\sqrt{2}$．
∵P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，
∴P到橢圓右焦點(diǎn)的距離為1，
∴點(diǎn)P到橢圓右準(zhǔn)線的距離$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活利用橢圓的第二定義．