Question

11．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右頂點，P為橢圓C上異于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別記為k₁，k₂．
（1）求k₁k₂；
（2）過坐標(biāo)原點O作與直線PA，PB平行的兩條射線分別交橢圓C于點M，N，問：△MON的面積是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)P（x₀，y₀），由此表示k₁k₂，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得答案；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），結(jié)合（1）的結(jié)論可得S的表達(dá)式，聯(lián)立直線與橢圓的位置關(guān)系，可得x₁、x₂的值，將其代入S的表達(dá)式，化簡變形即可得答案．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），
則${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{{y_0}^2}}{{-2{y_0}^2}}=-\frac{1}{2}$；
（2）由題知，直線OM：y=k₁x，直線ON：y=k₂x，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$S=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|=\frac{1}{2}|{x_1}•{k_2}{x_2}-{x_2}•{k_1}{x_1}|=\frac{1}{2}|（{k_1}-{k_2}）{x_1}{x_2}|$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=4\\ y={k_1}x\end{array}\right.⇒{x_1}^2=\frac{4}{{1+2{k_1}^2}}$，
同理可得${x_2}^2=\frac{4}{{1+2{k_2}^2}}$，
故有$4{S^2}={（{k_1}-{k_2}）^2}•\frac{4}{{1+2{k_1}^2}}•\frac{4}{{1+2{k_2}^2}}=\frac{{16（{k_1}^2+{k_2}^2-2{k_1}{k_2}）}}{{4{k_1}^2{k_2}^2+2（{k_1}^2+{k_2}^2）+1}}$，
又${k_1}{k_2}=-\frac{1}{2}$，故$4{S^2}=\frac{{16（{k_1}^2+{k_2}^2+1）}}{{2+2（{k_1}^2+{k_2}^2）}}=8$，
∴$S=\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，解（1）時要充分利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．