Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosB+b=2a，b=6，a=4．
（1）求角C的大小；
（2）若點D在AB邊上，AD=CD，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式，求得sinB=2sinBcosC，求得cosC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)C的取值范圍，即可求得角C的大��；
（2）由余弦定理求得c=2$\sqrt{7}$，設CD=x，在△ABC和△ACD中，分別應用余弦定理求得cosA=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，cosA=$\frac{3}{x}$，聯(lián)立即可求得CD的長．

解答 解：（1）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，（R為外接圓半徑），
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由2ccosB+b=2a，2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，
∴sinB=2sinBcosC，由B∈（0，π），則sinB≠0，
則cosC=$\frac{1}{2}$，
由C∈（0，π），
則C=$\frac{π}{3}$，
∴角C為$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=28，則c=2$\sqrt{7}$，
設CD=x，則在△ABC中，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{36+28-16}{2×6×2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
在△ACD中，cosA=$\frac{36+{x}^{2}-{x}^{2}}{2•6•x}$=$\frac{3}{x}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{3}{x}$，解得：x=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴CD的長$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查正弦定理及余弦定理的應用，考查兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于中檔題．