Question

10．f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)f（x）的k倍區(qū)間．若區(qū)間[m，n]為函數(shù)f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$（a≠0）的2倍區(qū)間，則n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題目中的新定義，結(jié)合函數(shù)與方程的知識(shí)轉(zhuǎn)化為$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$=2的根求解，從而確定正確的答案．

解答 解：根據(jù)題意得出函數(shù)f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$（a≠0）=$\frac{{a}^{2}+a}{{a}^{2}}$$-\frac{2}{{a}^{2}x}$是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴轉(zhuǎn)化為$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$=2x有2個(gè)根的問題．
即2a²x²-（a²+a）x+2=0，
x₁+x₂=$\frac{{a}^{2}+a}{2{a}^{2}}$，x_xx₂=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}+a}{2{a}^{2}}）^{2}-\frac{4}{{a}^{2}}}$═$\sqrt{\frac{{a}^{2}+2a-15}{4{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{15}{4}（\frac{1}{a}）^{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{a}+\frac{1}{4}}$
根據(jù)二次函數(shù)得出$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{15}$時(shí)取的最大值$\frac{2\sqrt{15}}{15}$
∵利用新定義判斷n，m為方程的根
∴n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$
故答案為：$\frac{2\sqrt{15}}{15}$

點(diǎn)評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是易錯(cuò)題．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．