Question

17．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求曲線C₁與曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）若點P的坐標為（-1，3），且曲線C₁與曲線C₂交于B，D兩點，求|PB|•|PD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程知：曲線C₁是過點（-1，3）的直線，相加消去參數(shù)t可得：曲線C₁的普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）由判斷知：P在直線C₁上，將$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入曲線C₂的方程得：${t^2}+4\sqrt{2}t+6=0$，利用|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程知：曲線C₁是過點（-1，3）的直線，
相加消去參數(shù)t可得：曲線C₁的普通方程為x+y-2=0．
曲線C₂的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
展開可得ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），
利用互化公式可得：曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²-2x-2y=0．
（Ⅱ）由判斷知：P在直線C₁上，
將$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程x²+y²-2x-2y=0得：${t^2}+4\sqrt{2}t+6=0$，
設點B，D對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|，而t₁t₂=6，
∴|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程互化、參數(shù)方程的應用、直線與相交相交轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．