Question

18．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：FO⊥平面ABCD；  
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出FO⊥AC，F(xiàn)O⊥BD，由此能證明FO⊥平面ABCD．
（2）連接FO、FD，推導(dǎo)出△DBF為等邊三角形，從而FO⊥BD，再求出AC⊥FO，得到FO⊥平面ABCD，由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵FA=AC，∴FO⊥AC，
∵FD=FB，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD．（5分）
解：（2）連接FO、FD，
∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF為等邊三角形，
∴O為BD中點(diǎn)．∴FO⊥BD，
又∵O為AC中點(diǎn)，且FA=FC，
∴AC⊥FO，又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD，…（6分）
由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)AB=2，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，
則BD=2，OB=1，OA=OF=$\sqrt{3}$，
∴O（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（0，0，$\sqrt{3}$），…（8分）
∴$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-1），…（10分）
∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0）．
∵二面角A-FC-B為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OB}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角A-FC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的表面積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．