Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁=2，則該三棱柱的外接球的表面積為（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意判斷直三棱柱ABC-A₁B₁C1的底面ABC為等腰直角三角形，我們可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C1補成正四棱柱，則正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，求出外接球的直徑后，代入外接球的表面積公式，即可求出該三棱柱的外接球的表面積

解答 解：∵在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥CB₁，AB=BC=2，AA₁=2，
∴AB⊥面BCC₁B₁，
即AB⊥BC
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁補成正四棱柱，
則正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，
設D，D₁分別為AC，A₁C₁的中點，則DD₁的中點O為球心，球的半徑$R=\sqrt{C{D^2}+O{D^2}}=\sqrt{3}$，故表面積為S=4πR²=12π．
故選：C．

點評 在求一個幾何體的外接球表面積（或體積）時，關鍵是求出外接球的半徑，我們通常有如下辦法：①構造三角形，解三角形求出R；②找出幾何體上到各頂點距離相等的點，即球心，進而求出R；③將幾何體補成一個長方體，其對角線即為球的直徑，進而求出R