Question

19．甲、乙兩學(xué)校各派出3名隊(duì)員，按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員進(jìn)行第一局比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員進(jìn)行第二局比賽，…，直到一方隊(duì)員全被淘汰為止，已知甲隊(duì)的1號(hào)與乙隊(duì)的1、2、3號(hào)隊(duì)員比賽獲勝的概率分別為$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，甲隊(duì)的2號(hào)與乙隊(duì)的1、2、3號(hào)隊(duì)員比賽獲勝的概率分別為$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$
（1）在所有的比賽過(guò)程中，甲隊(duì)的1號(hào)、2號(hào)隊(duì)員都只參加一局比賽的概率；
（2）在所有的比賽過(guò)程中，將甲隊(duì)1號(hào)、2號(hào)隊(duì)員一共參加了的比賽的局?jǐn)?shù)作為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算甲隊(duì)1，2號(hào)隊(duì)員都輸給乙隊(duì)1號(hào)隊(duì)員的概率；
（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算ξ分別取2，3，4的概率，得出分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）若甲隊(duì)的1號(hào)、2號(hào)隊(duì)員都只參加一局比賽，則甲隊(duì)的1，2號(hào)隊(duì)員均輸給乙隊(duì)的1號(hào)隊(duì)員，
∴P=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$．
（2）ξ可能的取值為2，3，4．
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$；
P（ξ=4）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{11}{24}$

∴E（ξ）=2×$\frac{1}{12}$+3×$\frac{11}{24}$+4×$\frac{11}{24}$=$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．