Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$．
（1）證明：對任意的b∈R，函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$的圖象與直線y=$\frac{x}{2}$+b最多有一個交點；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log₄（a-2^x），若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象至少有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題等價于log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=$\frac{x}{2}$+b解的討論，通過討論b的范圍，證明即可；
（2）等價于方程log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=log₄（a-2^x）至少有一個解，即（2^x+1）²=2^x（a-2^x），通過討論判別式△，求出a的范圍即可．

解答 （1）證明：原問題等價于log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=$\frac{x}{2}$+b解的討論．
因為2^x+1=2^x+b，即2^x（2^b-1）=1．--（2分）
當(dāng)b≤0時，方程無解，即兩圖象無交點；--（3分）
當(dāng)b＞0時，方程有一解，即兩圖象有一個交點，得證．--（4分）
（2）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象至少有一個交點，
等價于方程log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=log₄（a-2^x）至少有一個解，
即（2^x+1）²=2^x（a-2^x）．--（6分）
設(shè)u=2^x＞0，即方程2u²+（2-a）u+1=0至少有一個正解．--（8分）
①當(dāng)△=（2-a）²-8=0時，即a=2±2$\sqrt{2}$，
∵a＞2^x＞0，
∴a=2-2$\sqrt{2}$不符合題意，
當(dāng)a=2+2$\sqrt{2}$時，方程有一個正解，符合題意．
②當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{△{=（2-a）}^{2}-8＞0}\\{a-2＞0}\end{array}\right.$時，即a＞2+2$\sqrt{2}$，此時方程有兩個不同的正解．
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的交點問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．