Question

17．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$與拋物線y²=8x的一個(gè)交點(diǎn)為P，F(xiàn)為拋物線的交點(diǎn)，若|PF|=5，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由|PF|=5結(jié)合拋物線的性質(zhì)分析可得x₀=3，代入拋物線的方程可得y₀的值，即可得P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，計(jì)算可得m的值，即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由雙曲線離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$與拋物線y²=8x的一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）
拋物線的方程為y²=8x，
其準(zhǔn)線為x=-2，
若|PF|=5，則P到準(zhǔn)線x=-2的距離為5，則x₀=3，
則有n²=3×8，解可得y₀=±2$\sqrt{6}$，
即P（3，±2$\sqrt{6}$），
又由P在雙曲線上，則有9-$\frac{24}{m}$=1，解可得m=3，
則雙曲線的方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
其中a=1，b=$\sqrt{3}$，則c=$\sqrt{1+3}$=2，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=2；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出P的坐標(biāo)．