Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的點，且AE=BF，若A₁E與C₁F所成的角最小，則有（　�。�

• A、AE=BF=

  1

  4

  a
• B、AE=BF=

  1

  3

  a
• C、AE=BF=

  2

  5

  a
• D、AE=BF=

  1

  2

  a

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先畫出圖象，設(shè)|AE|=|BF|=x，x∈（0，a），表示出

A1E

，

C1F

，cos＜

A1E

，

C1F

＞=

a2

(x2+a2)[a2+(a-x)2]

，另設(shè)分母中；f（x）=（x²+a²）[a²+（a-x）²]，通過求導(dǎo)得出f（x）在x=

1

2

a時，取到最小值，從而得出答案．

解答： 解：如圖示：
，
設(shè)|AE|=|BF|=x，x∈（0，a），∴

A1E

=（0，x-a），

C1F

=（a-x，-a），
∴cos＜

A1E

，

C1F

＞=

A1E • C1F

| A1E |•| C1F |

=

a2

(x2+a2)[a2+(a-x)2]

，
另設(shè)分母中；f（x）=（x²+a²）[a²+（a-x）²]，
∴f′（x）=2[（2x³-ax²）-a（2x²-3ax+a²）]
=2（2x-a）（x²-ax+a），
又∵f″（x）=6（2x²-2ax+a²）＞0，
∴f′（x）是增函數(shù)，
∴只能有1個零點x=

1

2

a，
∴f（x）在x=

1

2

a時，取到最小值，
∴AE=BF=

1

2

a，
故選：D．

點評：本題考查了用向量表示角的余弦值，考查了函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．