Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）不等式f（x）+2m-1≥0對(duì)于任意的x∈R都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對(duì)x的取值范圍的分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）不等式f（x）+2m-1≥0對(duì)于任意的x∈R都成立?1-2m≤f（x）_min=-3，解之即可求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|-|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≤2}\\{2x-7，2＜x＜5}\\{3，x≥5}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，3]；
（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m-1≥0對(duì)于任意的x∈R都成立，
∴1-2m≤f（x）_min=-3，
∴m≥2．
即m的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．