Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=BC，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中點，點F在線段AA₁上，當AF=a或2a時，CF⊥平面B₁DF．

Answer 1

分析 本題適合建立空間坐標系得用向量法解決這個立體幾何問題，建立空間坐標系，給出有關(guān)點的坐標，設出點F的坐標，由線面垂直轉(zhuǎn)化為線的方向向量與面的法向量垂直，利用二者內(nèi)積為零建立關(guān)于參數(shù)的方程參數(shù)，即可計算得解．

解答 解：由題意可得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$．
以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系．
因為AC=2a，∠ABC=90°，所以AB=BC=$\sqrt{2}$a，
從而B（0，0，0），A（$\sqrt{2}$a，0，0），C（0，$\sqrt{2}$a，0），B₁（0，0，3a），A₁（ $\sqrt{2}$a，0，3a），C₁（0，$\sqrt{2}$a，3a），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，3a），
所以 $\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}$a，-$\sqrt{2}$a，3a），
設AF=x，則F（$\sqrt{2}$a，0，x），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{2}$a，-$\sqrt{2}$a，x），
$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（$\sqrt{2}$a，0，x-3a），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$\sqrt{2}$a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+（-$\sqrt{2}$a）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+x•0=0，
所以$\overrightarrow{CF}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}D}$．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=2a²+x（x-3a）=0，得x=a或x=2a，
故當AF=a或2a時，CF⊥平面B₁DF．
故答案為：a或2a．

點評 本題主要考查了用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內(nèi)積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關(guān)系的對應，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．