Question

4．已知橢圓：C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過C₁的左焦點(diǎn)F₁的直線l：x-y+2=0被圓C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)C₁的右焦點(diǎn)為F₂，在圓C₂上是否存在點(diǎn)P，滿足|PF1|=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$|PF₂|，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 第（1）問，由a²=b²+c²，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，及F₁的坐標(biāo)滿足直線l的方程，聯(lián)立此三個(gè)方程，即得a²，b²，從而得橢圓方程；
第（2）問，根據(jù)弦長，利用垂徑定理與勾股定理得方程，可求得圓的半徑r，從而確定圓的方程，再由條件|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$|PF₂|，將點(diǎn)P滿足的關(guān)系式列出，通過此關(guān)系式與已知圓C₂的方程聯(lián)系，再探求點(diǎn)P的存在性．

解答 解：在直線l的方程x-y+2=0中，令y=0，得x=-2，即得F₁（-2，0），
∴c=2，又∵離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a²=6，b²=a²-c²=2，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）∵圓心C₂（3，3）到直線l：x-y+2=0的距離為d=$\frac{|3-3+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又直線l被圓C₂截得的弦長為2$\sqrt{2}$，
∴由垂徑定理得r=$\sqrt{seqyky4^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
故圓C₂的方程為C₂：（x-3）²+（y-3）²=4．
設(shè)圓C₂上存在點(diǎn)P（x，y），滿足|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$|PF₂|，即|PF₁|=3|PF₂|．
∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
則$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$
此方程表示圓心在點(diǎn)（$\frac{5}{2}$，0），半徑$\frac{3}{2}$是的圓，
∴|CC₂|=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$，
故有2-$\frac{3}{2}$＜|CC₂|＜2+$\frac{3}{2}$，即兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．
∴圓C₂上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P，滿足|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$|PF₂|，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，以及圓與圓的位置關(guān)系，弦長計(jì)算，屬于中檔題