Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知A（-2，0），B（0，2），圓C上任意一點(diǎn)M（x，y），求△ABM面積的最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消元得到圓C的方程，將直線l的參數(shù)方程左側(cè)展開，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）先求點(diǎn)M（x，y）到直線AB：x-y+2=0的距離為d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，再求△ABM的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cos$θ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}$sin$（\frac{π}{4}-θ）$+9|，然后求最值．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
所以普通方程為（x-3）²+（y+4）²=4．
∴圓C的極坐標(biāo)方程：ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）點(diǎn)M（x，y）到直線AB：x-y+2=0的距離為d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，
△ABM的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cos$θ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}$sin$（\frac{π}{4}-θ）$+9|
所以△ABM面積的最大值為9+2$\sqrt{2}$，此時(shí)點(diǎn)M為（3+$\sqrt{2}$，-4-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．