Question

7．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n-1²+a_n+2²（n≥2），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₃₃的值是（　　）

• A． $\sqrt{99}$
• B． $\sqrt{33}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得數(shù)列{a_n²}為等差數(shù)列，進(jìn)而得到b_n=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-$\sqrt{3n-2}$），再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），
∴數(shù)列{a_n²}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2²-1=3．
∴a_n²=1+3（n-1）=3n-2．a(chǎn)_n＞0．
∴a_n=$\sqrt{3n-2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-$\sqrt{3n-2}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{3}$[（$\sqrt{4}$-1）+（$\sqrt{7}$-$\sqrt{4}$）+…+（$\sqrt{3n+1}$-$\sqrt{3n-2}$）]
=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-1）．
則S₃₃=$\frac{1}{3}$（10-1）=3．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．