Question

17．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1與橢圓$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（m＞b＞0）的離心率之積等于1，則以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形一定是（　�。�

• A． 等腰三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 銳角三角形
• D． 直角三角形

Answer 1

分析 求出橢圓與雙曲線的離心率，利用離心率互為倒數(shù)，推出a，b，m的關(guān)系，判斷三角形的形狀．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，
橢圓$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-^{2}}}{m}$，
由e₁•e₂=1，即$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-^{2}}}{m}$=1，
∴a²m²=（a²+b²）（m²-b²）
∴a²+b²=m²
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．